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— Oscar Wilde.
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1. Introduction
La classification des termes d’une molécule est liée à sa symétrie. Chacune des transformations de symétrie est une combinaison d’une ou plusieurs transformations fondamentales :
rotation d’un corps d’un angle déterminé autour d’un axe ;
réflexion ou symétrie plane ou encore effet miroir (mirage) ;
translation (cas très particulier).
2. Transformations de symétrie
2.1. Typologie des symétries
2.1.1. Translation
Seul un milieu illimité (cas du réseau cristallin) peut posséder une symétrie de translation. Un corps de dimension finie (notamment une molécule) ne peut donc être symétrique que par rapport aux rotations et aux réflexions.
2.1.2. Rotation
Si le corps vient à se superposer après une rotation de (\(2\pi/n\)) autour d’un axe donné, celui-ci constitue un axe de symétrie d’ordre \(n\) ou axe n-aire (\(n~\in~\{2,~3,~\dots\}\)).
\(n=1\) est exclu, car cette valeur correspond à une rotation de \(2\pi\) (ou zéro)c’est-à-dire la transformation identique.
Une rotation d’angle (\(2\pi/n\)) autour d’un axe donné est notée \(C_n\).
Des rotations successives (2 fois, 3 fois, etc.) \(2\times\cfrac{2\pi}{n}~,~3\times\cfrac{2\pi}{n}~,~\dots\) amènent le corps, à une itération donnée, à se superposer.
Ces opérations sont notées \(C_n^2,~C_n^3,~\dots\) (notations générales \(C_n^p\) ou \(C_{np}\))
Après \(n\) rotations, le corps retrouve la position initiale : \[C_n^n~=~E\qquad(\text{transformation identique})\]
2.1.3. Réflexion
Si le corps se superpose après réflexion dans un plan donné, celui-ci est un plan de symétrie.
Cette transformation est notée \(\sigma\) (la lettre grecque de Spiegel = miroir en allemand).
Pour deux réflexions successives dans un même plan : \[\sigma^2~=~E\]
2.1.4. Réflexion-rotation
Schéma d’une transformation réflexion-rotation (appelée parfois rotation impropre)Schéma d’une transformation réflexion-rotation (appelée parfois rotation impropre)L’application simultanée des transformations de réflexion et de rotation est appelée réflexion-rotation, parfois rotation impropre.
Nous dirons d’un corps qu’il possède un axe de réflexion-rotation d’ordre \(n\) s’il se superpose :
par rotation de \(2\pi/n\) autour d’un certain axe ;
par réflexion dans un plan perpendiculaire à cet axe.
Cette transformation double est notée \(S_n\).
Désignant par \(\sigma_h\) la seule réflexion dans un plan perpendiculaire à l’axe, on peut écrire, par définition : \[S_n~=~C_n~\sigma_h~=~\sigma_h~C_n\]
L’ordre des opérations \(C_n\) et \(\sigma_h\) n’influe pas sur le résultat : les opérateurs commutent.
La réflexion-rotation d’ordre deux est particulièrement importante. Une rotation {\(\pi\)} suivie d’une réflexion dans un plan perpendiculaire à l’axe de rotation équivaut à une transformation d’inversion notée \(I\).
Un corps symétrique dans cette transformation possède ainsi un centre de symétrie.
\[\begin{aligned} I~&=~S_2~=~C_2~\sigma_h\\ I~\sigma_h~&=~C_2\qquad\Rightarrow\qquad I~C_2~=~\sigma_h\end{aligned}\]
Un axe d’ordre deux, un plan de symétrie perpendiculaire à cet axe, un centre de symétrie au point de leur intersection sont donc interdépendants. La présence de deux quelconques de ces éléments entraînent celle du troisième.
2.2. Propriétés géométriques remarquables
2.2.1. Propriété 1
Le produit de deux rotations autour d’axes concourants est une rotation de la somme des angles de chaque rotation autour d’un troisième axe passant par le point commun.
2.2.2. Propriété 2
Le produit de deux réflexions dans deux plans qui se coupent est équivalent à une rotation dont l’axe est confondu avec la droite d’intersection des deux plans, et d’angle égal au double de celui formé par ces plans.
Adoptons les notations indicielles suivantes pour les réflexions :
\(v\) : dans un plan (vertical) passant par un axe donné
\(h\) : dans un plan (horizontal) perpendiculaire à cet axe
Soit \(C(\varphi)\), la rotation autour d’un axe d’un angle \(\varphi\).
Soient \(\sigma_v~\) et \(\sigma_{v’}\), les réflexions dans deux plans passant par cet axe : \[\sigma_v~\sigma_{v’}~=~C(2~\varphi)\qquad\varphi~:~\text{angle des deux plans}\]
Remarquer que l’ordre dans lequel on effectue les deux rotations n’est pas indifférent : la transformation \(\sigma_v~\sigma_{v’}\) donne une rotation dans le sens [plan \(\sigma_{v’}\)] \(\rightarrow\) [plan \(\sigma_v\)] ; lorsqu’on permute, la rotation s’inverse.
Multipliant l’égalité précédente à gauche par \(\sigma_v\), il vient : \[\sigma_{v’}~=\sigma_v~C(2~\varphi)\qquad\text{car :}~~(\sigma_v)^2=E\]
2.2.3. Propriété 3
Le produit d’une rotation et d’une réflexion dans un autre plan passant par l’axe est équivalent à une réflexion dans un autre plan coupant le premier sous un angle égal à la moitié de l’angle de rotation.
Il en résulte qu’un axe de symétrie d’ordre 2 et deux plans de symétrie orthogonaux passant par cet axe sont interdépendants : la présence de deux d’entre eux entraîne celle du troisième.
2.2.4. Propriété 4
Produit d’un rotation et d’une réflexion dans un autre : la transformation de rotation équivalenteProduit d’un rotation et d’une réflexion dans un autre : la transformation de rotation équivalenteLe produit de rotations d’un angle \(\pi\) autour de deux axes concourants formant un angle \(\varphi\) (\(Ox,~Oy\)) est une rotation d’un angle \(2~\varphi\) autour d’un axe perpendiculaire aux deux premiers (\(PP’\)). En effet :
Première rotation / \(Ox\) : \(P~\rightarrow~P’\)
Deuxième rotation / \(Oy\) : \(P~\rightarrow~\text{pos. initiale}\)
La droite \(PP’\) est en fait restée immobile : c’est donc un axe de rotation.
Il suffit de remarquer que :
l’axe \(Ox\) se conserve ;
\(Ox~\rightarrow~Ox’\) avec (\(\overrightarrow{Ox},~\overrightarrow{Ox’})=2~\varphi\)
2.3. Transformations commutatives
Le résultat de deux transformations successives dépend généralement de l’ordre dans lequel ces opérations ont été effectuées, mais il peut être indépendant de cet ordre dans le cas de transformations commutatives.
Ces le cas des transformations suivantes :
deux rotations autour d’un même axe ;
deux réflexions dans des plans orthogonaux (équivalence avec une rotation d’un angle \(\pi\) autour de la droite d’intersection des plans) ;
deux rotations de \(\pi\) autour d’axes orthogonaux (équivalence avec une rotation d’un angle \(\pi\) autour d’un troisième axe perpendiculaire) ;
une rotation et une réflexion dans un plan perpendiculaire à l’axe de rotation ;
une rotation (ou réflexion) arbitraire et une inversion par rapport à un point sur l’axe de rotation (dans le plan de réflexion), ce qui résulte de (1) et (4).
3. Symétries et permutations de particules
Les transformations de symétrie laissant invariant l’hamiltonien du système sont fondamentales : c’est le cas des transformations de coordonnées.
Si, après rotation ou après réflexion, le système se superpose, la transformation des coordonnées correspondante n’altère pas son équation de Schrödinger.
D’autres transformations permettent la conservation de l’équation de Schrödinger. C’est le cas permutations de coordonnées de particules identiques entrant dans la composition d’un système donné (molécules ou atomes).
Soit un système à \(N\) particules (le nombre total de permutations possibles est \(N~!\)).
En imaginant toutes les particules numérotées, chaque permutation pourra être représentée par une suite déterminée des nombres {1, 2, 3, …}. Chaque suite peut être déduite de la suite naturelle {1, 2, 3, …} par des permutations successives de couples de particules.
Une permutation sera dite paire ou impaire selon qu’elle est réalisée par un nombre pair ou impair de transitions de particules.
Désignons par \(\widehat{P}\) les opérateurs de permutations des \(N\) particules.
Si \(\Phi\) (fonction d’onde) est une fonction symétrique par rapport à toutes les particules : \[\widehat{P}~\Phi~=~\Phi\]
Si \(\Phi\) est antisymétrique par rapport à toutes les particules : \[\widehat{P}~\Phi~=\delta_P~\Phi\quad;\quad\delta_P~=~\pm 1\qquad(\text{+ paire/– impaire})\]
À partir d’une fonction arbitraire \(\Phi(r_1,~r_2,~\dots,~r_n\)), on peut former une fonction symétrique : \[\Phi_{sym}~=~\text{cte}\sum_P\widehat{P}~\Phi\]
Sommation effectuée sur toutes les permutations possibles
La fonction antisymétrique peut s’écrire sous la forme \[\Phi_{anti}~=~\text{cte}~~\sum_P\delta_P~\widehat{P}~\Phi\]
L’étude passe par la recherche de représentations irréductibles du groupe des permutations.
Le fait que l’hamiltonien \(\widehat{H}\) du système soit symétrique par rapport à toutes les particules signifie que \(\widehat{H}\) commute au sens mathématique avec tous les opérateurs \(\widehat{P}\). Mais ces opérateurs ne commutent pas entre eux. Ils ne peuvent donc être ramenés simultanément à la forme diagonale.
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1.1.1. Induction par la formule de Biot et Savart
Courant rectiligne indéfini, formule de Biot et Savart
Courant rectiligne indéfini, formule de Biot et SavartRappelons la formule générale : [B=\frac{\mu_0~I}{4\pi}\int_C\overrightarrow{dl}\wedge\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\qquad[1]]
Conformément à la règle du produit vectoriel des éléments d’intégration, l’induction élémentaire sera normale au plan de la figure et dirigée d’avant en arrière.
En écrivant que : [\overrightarrow{dl}\wedge\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}=\frac{\cos\theta}{r^2}~dz=\frac{\cos\theta}{R}~d\theta]
Par suite : [B=\frac{\mu_0~I}{4\pi~R}\int_{-\pi/2}^{+\pi/2}\cos\theta~d\theta=\frac{\mu_0~I}{2\pi~R}\qquad[2]]
Et (\overrightarrow{n}) étant le vecteur unitaire de la direction du courant : [\overrightarrow{B}=\frac{\mu_0~I}{2\pi~R}~\Big(\overrightarrow{n}\wedge\frac{\overrightarrow{R}}{R}\Big)\qquad[3]]
1.1.2. Induction déduite du potentiel vecteur
Induction déduite du potentiel vecteur
Induction déduite du potentiel vecteurL’expression du potentiel-vecteur pour un courant linéaire est connue : [\overrightarrow{A}=-\frac{\mu_0~I}{2\pi}~\overrightarrow{n}~\ln(R)\quad;\quad R=\sqrt{x_1^2+x_2^2}\qquad[4]]
En appliquant : [\begin{aligned} &\overrightarrow{B}=\overrightarrow{\rm rot}\overrightarrow{A}\ &B_w=\partial_u~A_v-\partial_v~A_u \end{aligned} \qquad[5]]
Il vient : [B_z=-\frac{\mu_0~I}{2\pi}~\Big(\frac{R_u}{R^2}~\overrightarrow{n_y}-\frac{R_v}{R^2}~\overrightarrow{n_x}\Big)\qquad[6]]
formule identique à la précédente.
1.1.3. Induction déduite du théorème d’Ampère
La formule de Biot et Savart montre que (\overrightarrow{B}) est tangent à la circonférence (C) de rayon (R).
On écrit que la circulation du vecteur (\overrightarrow{H}) le long de (C) est égal à (I) et on obtient : [\begin{aligned} 2\pi~R~H&=I\quad\Rightarrow\quad H=\frac{I}{2\pi~R}\ B&=\mu_0~H=\frac{\mu_0~I}{2\pi~R} \end{aligned} \qquad[7]]
1.2. Courant angulaire
Courant angulaire
Courant angulaireAppliquons la formule de Biot et Savart.
Les champs élémentaires sont normaux au plan de la feuille et dirigés vers l’arrière. En valeur absolue : [dB=\frac{\mu_0~I}{4\pi~r}~d\theta\qquad[8]]
Dans le triangle (MSP) : [\frac{r}{\sin\alpha}=\frac{D}{\sin(\alpha-\theta)}]
D’où : [B=\frac{\mu_0~I}{2\pi~D}~\frac{1}{\sin\alpha}\int_0^{\alpha}sin(\alpha-\theta)~d\theta=\frac{\mu_0~I}{2\pi~D}~\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}]
Tous calculs faits : [B=\frac{\mu_0~I}{2\pi~D}~\tan\frac{\alpha}{2}\qquad[9]]
Pour (\alpha=\cfrac{\pi}{2}) , on retrouve l’expression obtenue pour le fil rectiligne indéfini.
1.3. Courant circulaire (champ en un point de l’axe)
Courant circulaire, champ en un point de l’axe
Courant circulaire, champ en un point de l’axeL’angle solide (voir appendice) sous lequel du point (P), on voit la surface du cercle (C) est : [\Omega=2\pi~(1-\cos\alpha)\qquad[10]]
Le potentiel scalaire (V^) est donc : [\begin{aligned} V^&=\frac{\Omega}{4\pi}=\frac{1}{2}~(1-\cos\alpha)=\frac{1}{2}~\Big(1-\frac{z}{r}\Big)\ r&=\sqrt{z^2+r^2}\quad;\quad\frac{\partial z}{\partial r}=\frac{z}{r} \end{aligned} \qquad[11]]
La composante (H), dans la direction de l’axe se déduit du potentiel (V^) par : [\begin{aligned} H_z&=-\frac{\partial V^}{\partial z}=-\frac{1}{2}~\Big(-\frac{1}{r}+\frac{z}{r^2}~\frac{z}{r}\Big)\ H_z&=\frac{I~a^2}{2~r^3}=\frac{I}{2~a}~\sin^3\alpha \end{aligned} \qquad[12]]
Cas particulier : (P) est en (O) : [r~\rightarrow a\quad;\quad H_0=\frac{I}{2~a}\quad;\quad B_0=\frac{\mu_0~I}{2~a}]
Les composantes (H_x) et (H_y) sont nulles sur l’axe comme on peut s’en rendre compte en utilisant la formule de Biot et Savart et en associant les éléments du courant deux à deux, d’une manière symétrique.
Distributions superficielles. Densité superficielle, potentiel vecteur et inductionQuand des courants circulent sur une surface (S), on leur associe une densité superficielle (\overrightarrow{k}) de courant.
Si (dl) est l’élément d’arc d’une courbe tracée sur la surface, la quantité d’électricité (dQ) qui traverse pendant le temps (dt) l’élément (dl) est, par définition de (\overrightarrow{k}) : [dQ=(\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{N})~dl~dt\qquad[13]]
Par analogie avec la densité volumique (\rho) : (\overrightarrow{i}=\rho~\overrightarrow{v}), on aura une densité superficielle (\sigma) telle que (\overrightarrow{k}=\sigma~\overrightarrow{v}).
Le potentiel-vecteur et l’induction d’une distribution superficielle sont alors : [\overrightarrow{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_S\frac{\overrightarrow{k}}{r}~dS\quad;\quad\overrightarrow{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_S\Big(\overrightarrow{k}\wedge\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\Big)~dS\qquad[14]]
2.2. Exemple d’une nappe de courant de largeur finie
Nappe de courant de largeur finie
Nappe de courant de largeur finieLes lignes de courant sont normales au plan de la feuille et dirigées d’avant en arrière. Elles s’étendent sur une largeur (2~h).
Si (I) est l’intensité totale on a pour la densité superficielle : [k_z=\frac{I}{2~h}\qquad[15]]
En vertu de l’expression du potentiel vecteur d’un courant rectiligne, le potentiel vecteur a pour expression : [\begin{aligned} &A_z=-\frac{\mu_0~k_z}{2\pi}\int_{v=-h}^{v=+h}\ln(R)~dv\ &R=\sqrt{x^2+(y-v)^2} \end{aligned} \qquad[16]]
L’intégration est facilitée par le changement de variable : (\omega=y-v). Tous calculs faits : [A_z=\frac{\mu}{2\pi}~\frac{I}{2~h}~\Big{(y-h)~\ln\frac{R_1}{h}-(y+h)~\ln\frac{R_2}{h}+x~(\alpha_1-\alpha_2)\Big}\qquad[16]]
Du potentiel, on en déduit l’induction : [\begin{aligned} &B_x=\frac{\partial A_z}{\partial y}=-\frac{\mu}{2\pi}~\frac{I}{2h}~\ln\frac{R_2}{R_1}\ &B_y=\frac{\partial A_z}{\partial x}=-\frac{\mu}{2\pi}~\frac{I}{2h}~(\alpha_2-\alpha_1) \end{aligned} \qquad[17]]
2.3. Courants sur un cylindre indéfini
Nous allons considérer le cas d’un cylindre avec un type de distribution (k=cte), le vecteur courant étant dirigé suivant les génératrices du cylindre.
Courants sur un cylindre indéfini
Courants sur un cylindre indéfiniL’intensité totale à travers une surface (S) est par définition la quantité totale d’électricité qui passe à travers (S) pendant une seconde : [\mathcal{Q}=\int_S(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{i})~dS\qquad[18]]
Le potentiel vecteur pour un courant linéaire (cf. courant rectiligne indéfini) a pour expression : [\overrightarrow{A}=-\frac{\mu_0~I}{2\pi}~\overrightarrow{n}~\ln(R)\qquad[19]]
De l’intégration des équations : [\rm div(\overrightarrow{B})=0\quad;\quad\overrightarrow{\rm rot}\overrightarrow{H}=\overrightarrow{i}]
Il vient (continuité du champ et de l’induction) à la traversée d’une nappe de courant : [\begin{aligned} \overrightarrow{n}\cdot(\overrightarrow{B’}-\overrightarrow{B »})&=0\ \overrightarrow{n}\wedge(\overrightarrow{H’}-\overrightarrow{H »})&=\overrightarrow{k} \end{aligned} \qquad[20]]
Le potentiel vecteur en un point (P) est parallèle aux génératrices du cylindre et il ne dépend que de (R) par raison de symétrie.
Le champ est donc normal à (\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{R}) et dans la direction du vecteur (\overrightarrow{k}\wedge\cfrac{\overrightarrow{R}}{R}), c’est-à-dire tangent à la circonférence de centre (O) et passant par (P).
Dans ces conditions, le théorème d’Ampère appliqué à la circonférence de rayon (R) donne : [2\pi~R~H=\mathcal{Q}=2\pi~a~k\quad\Rightarrow\quad H=\frac{a}{R}~k\qquad[21]]
Le champ est donc le même que celui d’un courant linéaire circulant le long de l’axe du cylindre et dont l’intensité serait : [I=2\pi~a~k]
2.4. Disque de Rowland
Le disque de Rowland
Le disque de RowlandOn fait tourner un disque métallique portant une densité uniforme (\sigma) de charge électrique avec une vitesse angulaire (\omega).
On se propose de calculer le champ magnétique en un point de l’axe.
La loi de Biot et Savart donne : [H_z=\int_0^a\frac{\sin^3\theta}{2r}~k~dr\qquad[22]]
(k) : densité superficielle de courant
On a : [k=v~\sigma=r~\omega~\sigma\quad;\quad \tan\theta=\frac{r}{z}]
On doit donc intégrer : [H_z=\frac{\omega~\sigma}{2}~z\int_0^{\alpha}\frac{\sin^3\theta}{\cos^3\theta}~d\theta=\frac{\omega~\sigma}{2}~z~\Big(\cos\alpha+\frac{1}{\cos\alpha}-2\Big)\qquad[23]]
Tous calculs faits : [H_z=\frac{\omega\sigma}{2}~\Big(\frac{2~z^2+a^2}{\sqrt{z^2+a^2}}-2~z\Big)\qquad[24]]
Par un raisonnement analogue à celui de l’électrostatique, on en déduirait les conditions aux limites pour les potentiels vecteurs : [(\overrightarrow{A’})_S=(\overrightarrow{A »})_S\quad;\quad\Big(\frac{\partial V’}{\partial n}\Big)_S=\Big(\frac{\partial V »}{\partial n}\Big)_S\qquad[24]]
Il en résulte que toutes les composantes du champ sont continues à la traversée de la surface limitant une distribution volumique.
3.1. Cylindre indéfini
Distributions volumiques. Cylindre indéfini
Distributions volumiques. Cylindre indéfiniNous supposons que la densité de courant (\overrightarrow{i}) est constante et parallèle aux génératrices du cylindre.
Si (I) est l’intensité du courant, on a : [\overrightarrow{i}=\frac{I}{\pi~a^2}~\overrightarrow{n}\qquad[25]]
(\overrightarrow{n}) vecteur unitaire normal au plan, dirigé en avant.
D’après la loi de Biot et Savart, on voit en associant deux à deux les éléments de courant que le champ résultant en un point (P) est toujours normal au rayon vecteur (\overrightarrow{OP}).
Son sens est toujours donné par le vecteur unitaire (\overrightarrow{n}\wedge\cfrac{\overrightarrow{r}}{r})
En appliquant alors le théorème d’Ampère à la circonférence de rayon (r), on a :
Cylindre indéfini. Variation du champ en fonction de la distance
Cylindre indéfini. Variation du champ en fonction de la distanceÀ l’intérieur : [2\pi~r~H »=\frac{\pi~r^2~I}{\pi~a^2}\quad\Rightarrow\quad H=\frac{I~r}{2\pi~a^2}\qquad[26]]
À l’extérieur : [2\pi~r~H’=\frac{\pi~a^2~I}{\pi~a^2}\quad\Rightarrow\quad H=\frac{I}{2\pi~r}\qquad[27]]
La figure indique l’allure de la variation de l’intensité du champ magnétique (H) en fonction de (r). Quand (r=a), on a alors (H’=H ») ; les composantes normales sont aussi continues puisqu’elles sont nulles. On peut ensuite calculer le potentiel vecteur (\overrightarrow{A}) et en déduire le vecteur induction (\overrightarrow{B}=\overrightarrow{\rm rot}\overrightarrow{A}).
3.2. Cylindre creux à symétrie axiale
Cylindre creux à symétrie axiale
Cylindre creux à symétrie axialePar raison de symétrie, l’induction est toujours normale au rayon vecteur.
Le théorème d’Ampère appliqué à une circonférence de même axe que le cylindre donne :
– Intérieur du cylindre de rayon ((r=b)) : [H_3=0\qquad[28]]
– Entre les deux cylindres ((r=b) et (r=c)) : [2\pi~r~H=i~\pi~(r^2-b^2)]
Cylindre creux à symétrie axiale. Variation du champ en fonction de la distance
Cylindre creux à symétrie axiale. Variation du champ en fonction de la distanceIl vient : [H_2=\frac{i}{2}~\Big(r-\frac{b^2}{r}\Big)=\frac{I}{2\pi~(c^2-b^2)}~\Big(r-\frac{b^2}{r}\Big)\qquad[29]]
Extérieur du cylindre de rayon ((r=c)) : [2\pi~r~H=i~\pi~(c^2-b^2)]
Il vient : [H_1=\frac{i}{2~r}~(c^2-b^2)=\frac{I}{2\pi~r}\qquad[30]]
On peut ensuite calculer le potentiel vecteur (\overrightarrow{A}) et en déduire le vecteur induction (\overrightarrow{B}=\overrightarrow{\rm rot}\overrightarrow{A}).
3.3. Câble coaxial
Courants dans un câble coaxial
Courants dans un câble coaxialDans le cylindre central le courant circule vers le haut : [\overrightarrow{i_1}=i_1~\overrightarrow{n}=\frac{I}{\pi~a^2}~\overrightarrow{n}\qquad[31]]
Dans la partie annulaire, le courant circule vers le bas et l’intensité (I) est la même [\overrightarrow{i_3}=-i_3~\overrightarrow{n}=\frac{I}{\pi~(c^2-b^2)}~\overrightarrow{n}\qquad[32]]
On obtiendra la solution en additionnant :
les deux formules de la solution du cylindre plein seul ;
les formules de la solution pour le cylindre annulaire.
L’angle solide est le rapport entre la surface (rose) de la projection d’un objet (bleu) sur une sphère et le carré du rayon de celle-ci. Dessin Wilkipedia.
L’angle solide est le rapport entre la surface (rose) de la projection d’un objet (bleu) sur une sphère et le carré du rayon de celle-ci. Dessin Wilkipedia.L’angle sous lequel on voit un arc de cercle élémentaire (donc très petit) s’exprime par : [\theta\approx\tan\theta=\frac{ds}{R}]
Passant en tridimensionnel, le (ds) d’arc de cercle est remplacé par le (dS), donc surface élémentaire (surface quadrilatère) sur une sphère et le (R) par (R^2).
Et pour la vison conique d’un disque : [\Omega=2\pi~(1-\cos\alpha)]
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